4. 韦达定理(Vieta's Theorem)的实用形式
\[ {x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} = {\left( {x}_{1} + {x}_{2}\right) }^{2} - 2{x}_{1}{x}_{2} \tag{4.1} \]
\[ {x}_{1}^{3} + {x}_{2}^{3} = \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) \left\lbrack {{\left( {x}_{1} + {x}_{2}\right) }^{2} - 3{x}_{1}{x}_{2}}\right\rbrack \tag{4.2} \]
\[ {\left( {x}_{1} - {x}_{2}\right) }^{2} = {\left( {x}_{1} + {x}_{2}\right) }^{2} - 4{x}_{1}{x}_{2} \tag{4.3} \]
\[ \sqrt{{x}_{1}} + {\sqrt{x}}_{2} = \sqrt{{x}_{1} + {x}_{2} + 2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}\;\left( {{x}_{1} \geq 0,{x}_{2} \geq 0}\right) \tag{4.4} \]
\[ \frac{1}{{x}_{1}} + \frac{1}{{x}_{2}} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}} \tag{4.5} \]
\[ \frac{1}{{x}_{1}^{2}} + \frac{1}{{x}_{2}^{2}} = \frac{{\left( {x}_{1} + {x}_{2}\right) }^{2} - 2{x}_{1}{x}_{2}}{{\left( {x}_{1}{x}_{2}\right) }^{2}} \tag{4.6} \]
\[ \frac{1}{{x}_{1}^{3}} + \frac{1}{{x}_{2}^{3}} = \frac{\left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) \left\lbrack {{\left( {x}_{1} + {x}_{2}\right) }^{2} - 3{x}_{1}{x}_{2}}\right\rbrack }{{\left( {x}_{1}{x}_{2}\right) }^{3}} \tag{4.7} \]
\[ \frac{1}{{x}_{1}} + \frac{1}{{x}_{2}} + \frac{1}{{x}_{3}} = \frac{{x}_{1}{x}_{2} + {x}_{2}{x}_{3} + {x}_{3}{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}} \tag{4.8} \]
\[ {x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} + {x}_{3}^{2} = {\left( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3}\right) }^{2} - 2\left( {{x}_{1}{x}_{2} + {x}_{2}{x}_{3} + {x}_{3}{x}_{1}}\right) \tag{4.9} \]
\[ \frac{1}{{x}_{1}^{2}} + \frac{1}{{x}_{2}^{2}} + \frac{1}{{x}_{3}^{2}} = \frac{{\left( {x}_{1}{x}_{2} + {x}_{2}{x}_{3} + {x}_{3}{x}_{1}\right) }^{2} - 2\left( {{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}\right) \left( {{x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3}}\right) }{{\left( {x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}\right) }^{2}} \tag{4.10} \]
\[ \frac{1}{{x}_{1}} + \frac{1}{{x}_{2}} + \frac{1}{{x}_{3}} + \frac{1}{{x}_{4}} = \frac{{x}_{2}{x}_{3}{x}_{4} + {x}_{1}{x}_{3}{x}_{4} + {x}_{1}{x}_{2}{x}_{4} + {x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}{x}_{4}} \tag{4.11} \]
5. 应用韦达定理(Vieta's Theorem)求解对称方程组
5.1. 对称方程是指一个含有 \( n \) 个变量的方程 \( f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) = 0 \) ，若任意交换其中变量，所得方程不变。 \( x + y = {2016},{xy} = {2017},{x}^{2}y + x{y}^{2} = {2018} \) 和 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {2019} \) 都是对称方程的例子。两个或更多对称方程构成对称方程组。
5.2. 最简单对称方程组的解。
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = a \\ {xy} = b \end{array}\right. \]
根据韦达定理(Vieta's Theorem)的逆定理， \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {at} + b = 0 \) 的两个解。
该方程的根为
\( {t}_{1} = \frac{a + \sqrt{{a}^{2} - {4b}}}{2},{t}_{2} = \frac{a - \sqrt{{a}^{2} - {4b}}}{2} \) .
因此原对称方程组的解为
\[ {x}_{1} = \frac{a + \sqrt{{a}^{2} - {4b}}}{2},{y}_{1} = \frac{a - \sqrt{{a}^{2} - {4b}}}{2}\text{; or}{x}_{2} = \frac{a - \sqrt{{a}^{2} - {4b}}}{2},{y}_{2} = \frac{a + \sqrt{{a}^{2} - {4b}}}{2}\text{.} \]
对于任意给定的方程组，若它们能用 \( x + y \) 和 \( {xy} \) 表示，则可(1)设 \( u = x + y \) 和 \( v = {xy} \) ，(2)解出 \( u \) 和 \( v \) ，(3)再解
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = a \\ {xy} = b \end{array}\right. \]
得到 \( x \) 和 \( y \) 。
2. 韦达定理(Vieta's Theorem)逆定理的应用
例1. 已知矩形面积为 \( {300}\mathrm{\;{cm}} \) ，周长为 \( {70}\mathrm{\;{cm}} \) ，求矩形的长度。
(A) 15 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 50
解:(B)。
设长为 \( x \) ，宽为 \( y \) 。
我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = {35} \\ {xy} = {300} \end{array}\right. \]
因此 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {35t} + {300} = 0 \) 的两个根。
解为 \( \left( {t - {20}}\right) \left( {t - {15}}\right) = 0 \) 、 \( {t}_{1} = {20} \) 和 \( {t}_{2} = {15} \) 。
长度为20。
例2. 两数之和为10，积为22。较小的数是多少？
(A) \( 5 - \sqrt{3} \) (B) \( 5 + \sqrt{3} \)
解:(A)。
设这两个数为 \( x \) 和 \( y \) 。
我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = {10} \\ {xy} = {22} \end{array}\right. \]
因此 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {10t} + {22} = 0 \) 的两个根。
解为 \( {t}_{1} = \frac{{10} + \sqrt{{10}^{2} - 4 \cdot {22}}}{2} = \frac{{10} + 2\sqrt{3}}{2} = 5 + \sqrt{3} \) ，和
\( {t}_{2} = \frac{{10} - \sqrt{{10}^{2} - 4 \cdot {22}}}{2} = \frac{{10} - 2\sqrt{3}}{2} = 5 - \sqrt{3}. \)
较小的数是 \( 5 - \sqrt{3} \) 。
例3. 直角三角形 \( {ABC} \) 的面积为7，周长为14。该三角形的较长直角边是多少？
(A) \( 4 - \sqrt{2} \) (B) \( 4 + \sqrt{2} \) (C)5(D) \( 3 - \sqrt{2} \) (E) \( 3 + \sqrt{2} \)
解:(B)。
设三边为 \( a, b \) 、 \( c \) ，且 \( a \leq b \leq c \) 。
我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = {14} \\ \frac{1}{2}{ab} = 7 \\ {a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2} \end{array}\right. \]
可见 \( {c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} = {\left( a + b\right) }^{2} - {2ab} = {\left( {14} - c\right) }^{2} - 2 \times 2 \times 7 \Rightarrow {28c} = {168} \Rightarrow \) \( c = 6 \) 。
因此我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 8 \\ {ab} = {14} \end{array}\right. \]
于是 \( a \) 和 \( b \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {8t} + {14} = 0 \) 的两个根。
解为 \( {t}_{1} = \frac{8 + \sqrt{{8}^{2} - 4 \cdot {14}}}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{2}}{2} = 4 + \sqrt{2} \) ，以及
\( {t}_{2} = \frac{8 - \sqrt{{8}^{2} - 4 \cdot {142}}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{2}}{2} = 4 - \sqrt{2}. \)
较长的直角边为 \( 4 + \sqrt{2} \) 。
例4. 有多少个不同的有序对(x, y)满足方程 \( {x}^{3} + {y}^{3} = {468} \)
\( {x}^{2}y + x{y}^{2} = {420}? \)
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
解:(C)。
我们知道 \( {x}^{3} + {y}^{3} = \left( {x + y}\right) \left( \left\lbrack {{\left( x + y\right) }^{2} - {3xy}}\right) \right) \) 。因此我们有
\( \left( {x + y}\right) \left( \left\lbrack {{\left( x + y\right) }^{2} - {3xy}}\right) \right) = {468} \) (1)
方程 \( {x}^{2}y + x{y}^{2} = {420} \) 可写成 \( {xy}\left( {x + y}\right) = {420} \) (2)
设 \( u = x + y \) 和 \( v = {xy} \) 。
(1)和(2)可写成
\[ \left\{ \begin{array}{l} {u}^{3} - {3uv} = {468} \\ {uv} = {420} \end{array}\right. \tag{3} \]
(4)
解方程组(3)和(4):
\( u = {12} \) 和 \( v = {35} \) 。
于是
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = {12} \\ {xy} = {35} \end{array}\right. \tag{5} \]
(6)
所以 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {12t} + {35} = 0 \) 的两个根。
解为 \( \left( {t - 5}\right) \left( {t - 7}\right) = 0 \) 。
因此， \( {x}_{1} = 5,{y}_{1} = 7 \) ；且 \( {x}_{2} = 7 \) 和 \( {y}_{2} = 5 \) 。
答案为(C)。
例5. 满足方程的 \( x \) 的最小值是多少
\( x - y = 2 \)
\( {xy} = 2? \)
(A) \( 1 + \sqrt{3}\; \) (B) \( 1 - \sqrt{3}\; \) (C) \( - \sqrt{3} - 1\; \) (D) \( 3 - \sqrt{2}\; \) (E) \( 3 + \sqrt{2} \)
解:(C)。
给定方程可写为
\[ x + \left( {-y}\right) = 2 \]
\[ x\left( {-y}\right) = - 2\text{.} \]
因此 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {2t} - 2 = 0 \) 的两个根。
解为 \( {t}_{1} = \frac{2 + \sqrt{{\left( -2\right) }^{2} - 4 \cdot \left( {-2}\right) }}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \) ，且
\[ {t}_{2} = \frac{2 - \sqrt{{\left( -2\right) }^{2} - 4 \cdot \left( {-2}\right) }}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}. \]
因此， \( {x}_{1} = \sqrt{3} + 1,{y}_{1} = - \left( {1 - \sqrt{3}}\right) = \sqrt{3} - 1 \) ；且 \( {x}_{2} = - \sqrt{3} + 1 \) 且
\[ {y}_{2} = - \left( {1 + \sqrt{3}}\right) = - \sqrt{3} - 1. \]
\( x \) 的较小根为 \( - \sqrt{3} - 1 \) 。
例6. 有多少个不同的有序实数对(x, y)满足方程
\[ \frac{1}{{x}^{3}} - \frac{1}{{y}^{3}} = {26} \]
\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2? \]
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
解:(C)。
\[ \text{Let}u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y} \]
给定方程可写为
\[ \left\{ \begin{array}{l} {u}^{3} - {v}^{3} = {26} \\ u - v = 2 \end{array}\right. \]
\( \left. {{u}^{3} - {v}^{3} = {26} = \left( {u - v}\right) \left\lbrack {{\left( u - v\right) }^{2} - {3uv}}\right) }\right\rbrack \Rightarrow {26} = 2\left( {{2}^{2} - {3uv}}\right) \Rightarrow {uv} = 3 \) .
于是我们有
\( u - v = 2 \)
\( {uv} = 3 \)
或
\[ u + \left( {-v}\right) = 2 \]
\( u\left( {-v}\right) = - 3 \)
因此 \( u \) 和 \( v \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {2t} - 3 = 0 \Rightarrow \) 的两个根
\( \left( {t + 1}\right) \left( {t - 3}\right) = 0 \) .
解为 \( {u}_{1} = - 1, - {v}_{1} = 3 \) ；以及 \( {u}_{2} = 3 \) 和 \( - {v}_{2} = - 1 \) 。
因此 \( {x}_{1} = - 1,{y}_{1} = \frac{1}{{v}_{1}} = - \frac{1}{3} \) ；以及 \( {x}_{2} = \frac{1}{3} \) 和 \( {y}_{2} = \frac{1}{{v}_{2}} = 1 \) 。
例7. 有多少个不同的有序实数对(x, y)满足方程
\[ x\left( {x + 1}\right) \left( {{3x} + {5y}}\right) = {144} \]
\[ {x}^{2} + {4x} + {5y} = {24}? \]
(C) 2 (D) 4 (E) 6
解:(C)。
我们把 \( {x}^{2} + {4x} + {5y} = {24} \) 写成 \( x\left( {x + 1}\right) + {3x} + {5y} = {24} \) 。
设 \( u = x\left( {x + 1}\right) , v = {3x} + {5y} \)
我们得到
\( {uv} = {144} \)
\[ u + v = {24} \]
因此 \( u \) 和 \( v \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {24t} + {144} = 0 \Rightarrow \) 的两个根
\[ {\left( t - {12}\right) }^{2} = 0\; \Rightarrow \;t = {12}. \]
解为 \( x\left( {x + 1}\right) = {12} \) ，以及 \( {3x} + {5y} = {12} \) 。
解 \( x\left( {x + 1}\right) = {12},{x}_{1} = - 4,{x}_{2} = 3 \) 。于是 \( {y}_{1} = \frac{24}{5} \) 和 \( {y}_{2} = \frac{3}{5} \) 。
答案为(C)。
例8. 有多少个不同的有序三元组(x, y, z)满足方程
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 9 \\ {xy} + {yz} + {zx} = {26} \\ {xyz} = {24} \end{array}\right. \]
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
解:(E)。
\( x, y \) 、 \( z \) 是以下方程的解: \( {t}^{3} - 9{t}^{2} + {26t} - {24} = 0 \Rightarrow \) 或 \( \left( {t - 2}\right) \left( {t - 4}\right) \left( {t - 3}\right) = 0 \)
因此解为 (2,3,4)。这可以有 6 种不同的排列方式，如下所示。
\[ \left\{ {\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 3 \\ z = 2 \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 4 \end{array}\right. }\right. }\right. \]
\[ \text{Tl}\left\{ {\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \\ z = 3 \end{array}\text{ riginal sy }\left\{ {\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \\ z = 4 \end{array}\text{ 6 distinct solu }\left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \\ z = 2 \end{array}\right. }\right. }\right. \]
例 9.(1976 AMC 第 30 题)有多少个不同的有序三元组 (x, y, z) 满足方程
\[ x + {2y} + {4z} = {12} \]
\[ {xy} + {4yz} + {2xz} = {22} \]
\[ {xyz} = 6\text{?} \]
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
解答:(E)。
方法 1(官方解答):
我们注意到，通过以下变量代换可以得到一个对称方程组:
\[ x = {2u},\;y = v,\;z = \frac{1}{2}w \tag{1} \]
该代换得到变换后的方程组
\[ u + v + w = 6, \]
\[ {uv} + {vw} + {uw} = {11}, \tag{2} \]
\[ {uvw} = 6\text{.} \]
考虑多项式 \( p\left( t\right) = \left( {t - u}\right) \left( {t - v}\right) \left( {t - w}\right) \) ，其中 (u, v, w) 是方程 (2) 的解。
则
\[ p\left( t\right) = {t}^{3} - 6{t}^{2} + {11t} - 6, \tag{3} \]
且 \( u, v, w \) 是 \( p\left( t\right) = 0 \) 的解。
反之，若将 \( p\left( t\right) = 0 \) 的根按任意顺序列为三元组，则该三元组即为方程 (2) 的解。
不难看出 \( p\left( t\right) = 0 \) 有三个不同的解。事实上， \( p\left( t\right) = \left( {t - 1}\right) \left( {t - 2}\right) \left( {t - 3}\right) \) 。
因此三元组 (1,2,3) 及其所有排列均满足方程 (2)。由于代换 (1) 是一一对应的，原方程组共有 6 个不同的解: \( \left( {x, y, z}\right) : \left( {2,3,1}\right) ,\left( {2,2,\frac{3}{2}}\right) ,\left( {4,1,\frac{3}{2}}\right) ,\left( {4,3,\frac{1}{2}}\right) ,\left( {6,1,1}\right) \) 或 \( \left( {6,2,\frac{1}{2}}\right) \) 。
方法 2(我们的解法):
令 \( a = x, b = {2y} \) ，且 \( c = {4z} \) 。
方程组变为:
\[ a + b + c = {12} \]
\[ {ab} + {bc} + {ac} = {44} \]
\( {abc} = {48} \)
\( a, b \) 和 \( c \) 是以下方程的解: \( {t}^{3} - {12}{t}^{2} + {44t} - {48} = 0 \) 我们观察到 2 是上述三次方程的一个解。
通过长除法，我们可以将三次方程分解为: \( \left( {t - 2}\right) \left( {{t}^{2} - {10t} + {24}}\right) = 0 \)
或 \( \left( {t - 2}\right) \left( {t - 4}\right) \left( {t - 6}\right) = 0 \)
因此解为 (2,4,6)。这可以有 6 种不同的排列方式，如下所示。
\[ \left\{ {\begin{array}{l} a = 2 \\ b = 4 \\ c = 6 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = \frac{b}{2} = 2 \\ z = \frac{c}{4} = \frac{3}{2} \end{array}\right. }\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} a = 2 \\ b = 6 \\ c = 4 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = \frac{b}{2} = 3 \\ z = \frac{c}{4} = 1 \end{array}\right. }\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} a = 4 \\ b = 2 \\ c = 6 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = \frac{b}{2} = 1 \\ z = \frac{c}{4} = \frac{3}{2} \end{array}\right. }\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} a = 4 \\ b = 6 \\ c = 2 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = \frac{b}{2} = 3 \\ z = \frac{c}{4} = \frac{1}{2} \end{array}\right. }\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} a = 6 \\ b = 2 \\ c = 4 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 6 \\ y = \frac{b}{2} = 1 \\ z = \frac{c}{4} = 1 \end{array}\right. }\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} a = 6 \\ b = 4 \\ c = 2 \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 6 \\ y = \frac{b}{2} = 2 \\ z = \frac{c}{4} = \frac{1}{2} \end{array}\right. }\right. \]
于是原方程组有 6 个不同的解。
例 10.(1974 年美国数学奥林匹克)求下列联立方程组的所有根，实根或复根。
\( x + y + z = 3, \)
\( {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 3, \)
\[ {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} = 3 \]
解法:
方法一:
设 \( x, y, z \) 为三次方程的根
\[ {t}^{3} - a{t}^{2} + {bt} - c = 0. \]
则 \( a = x + y + z = 3 \) ，
且 \( \;{2b} = 2\left( {{yz} + {zx} + {xy}}\right) = {\left( x + y + z\right) }^{2} - {x}^{2} - {y}^{2} - {z}^{2} = 6 \) 。
三次方程被 \( x \) 、 \( y \) 和 \( z \) 满足；若我们将这些三次方程相加，得到
\[ {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - a\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) + b\left( {x + y + z}\right) - {3c} = 0 \]
\[ 3 - {3a} + {3b} - {3c} = 0. \]
由于 \( a = b = 3 \) ，我们可以解出 \( c : c = 1 \) 。
三次方程变为 \( {\left( t - 1\right) }^{3} = 0 \) ，因此唯一解为 \( \left( {x, y, z}\right) = (1 \) ，1，1)。
方法二:
\[ x + y + z = 3 \tag{1} \]
\[ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = 3 \tag{2} \]
\[ {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} = 3 \tag{3} \]
\( {\left( 1\right) }^{2} - \left( 2\right) : {xy} + {yz} + {zx} = \frac{1}{2}\left\lbrack {{\left( x + y + z\right) }^{2} - \left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) }\right\rbrack = 3 \) (4)
(2) \( - \left( 4\right) : {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - \left( {{xy} + {yz} + {zx}}\right) = 0 \) (5)
(1) \( \times \left( 5\right) : {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - {3xyz} = 0 \) (6)
(6) \( - \left( 3\right) : {xyz} = 1 \) .
因此我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ {xy} + {yz} + {zx} = 3 \\ {xyz} = 1 \end{array}\right. \]
所以 \( x, y, z \) 是方程 \( {t}^{3} - 3{t}^{2} + {3t} - 1 = 0 \Rightarrow {\left( t - 1\right) }^{3} = 0 \) \( {t}_{1} = 1,{t}_{2} = 1,{t}_{3} = 1 \) 的根。
于是解为(1,1,1)。
3. 韦达定理(Vieta's Theorem)的应用
例11.(2003 AMC 10A)设 \( d \) 和 \( e \) 表示
\( 2{x}^{2} + {3x} - 5 = 0 \) 的解。求 \( \left( {d - 1}\right) \left( {e - 1}\right) /? \) 的值
(A) \( - \frac{5}{2} \) (B) 0 (C) 3 (D) 5 (E) 6
解答:(B)。
方法一(官方解答):
由于 \( 0 = 2{x}^{2} + {3x} - 5 = \left( {{2x} + 5}\right) \left( {x - 1}\right) \) ，我们有 \( d = - \frac{5}{2} \) 和 \( e = 1 \) :
所以 \( \left( {d - 1}\right) \left( {e - 1}\right) = 0 \) 。
方法二(官方解答):
若 \( x = d \) 和 \( x = e \) 是二次方程 \( a{x}^{2} + {bx} + c = 0 \) 的根，
则 \( {de} = c/a \) 且 \( d + e = - b/a \) 。
对我们的方程而言，这意味着
\( \left( {d - 1}\right) \left( {e - 1}\right) = {de} - \left( {d + e}\right) + 1 = - 5/2 - \left( {-3/2}\right) + 1 = 0. \)
方法三(我们的解法):
\( a = 2, b = 3 \) ，以及 \( c = - 5 \) 。
\( {x}_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - {4ac}}}{2a} = \frac{-\left( 3\right) \pm \sqrt{{\left( -3\right) }^{2} - 4 \times 2 \times \left( {-5}\right) }}{2 \times 4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4} \)
因此 \( e = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \) 且 \( e - 1 = 1 - 1 = 0 \) 。于是答案为 \( \left( {d - 1}\right) \times 0 = 0 \) 。
例12.(2005 AMC 10 A)存在两个 \( a \) 的值，使得方程 \( 4{x}^{2} + {ax} + {8x} + 9 = 0 \) 对 \( x \) 仅有一个解。求这两个 \( a \) 值的和。
(A) -16 (B) -8 (C) 0 (D) 8 (E) 20
解答:(A)。
方法1(官方解答):
二次公式给出 \( {x}_{1,2} = \frac{-\left( {a + 8}\right) \pm \sqrt{{\left( a + 8\right) }^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4} \) 。
当判别式的值 \( {\left( a + 8\right) }^{2} - {144} \) 为0时，方程恰有一个解。这意味着 \( a = - {20} \) 或 \( a = 4 \) ，其和为-16。方法2(官方解答):当且仅当该多项式为一次项 \( \pm \sqrt{4{x}^{2}} = \pm {2x} \) 与常数项 \( \pm \sqrt{9} = \pm 3 \) 的二项式平方时，方程有一个解。由于 \( \left( {\left( 2x \pm 3\right) }^{2}\right) \) 的一次项为 \( \pm {12x} \) ，故 \( a + 8 = \pm {12} \) 。于是 \( a \)
为-20或4，这些值的和为-16。
方法3(我们的解答):
给定方程可写为 \( 4{x}^{2} + \left( {a + 8}\right) x + 9 = 0 \)
根据韦达定理(Vieta Theorem)，
\[ {x}_{1} + {x}_{2} = - \left( {a + 8}\right) \tag{1} \]
\[ {x}_{1} \times {x}_{2} = 9 \tag{2} \]
由于方程对 \( x \) 仅有一个解，
\( 2{x}_{1} = - \left( {a + 8}\right) \) (3)
\[ {x}_{1}^{2} = 9\; \Rightarrow \;{x}_{1} = \pm 3 \tag{4} \]
将 \( {x}_{1} = \pm 3 \) 代入(3)，得 \( a = - {14} \) ，且 \( a = - 2 \) 。
答案为 \( - {14} - 2 = - {16} \) 。
方法4(我们的解答):
该方程只有一个解意味着
\[ \Delta = {b}^{2} - {4ac} = 0\; \Rightarrow \;{\left( a + 8\right) }^{2} - 4 \times 4 \times 9 = 0 \Rightarrow \;{\left( a + 8\right) }^{2} = {\left( {12}\right) }^{2}. \]
\[ a = {12} - 8 = 4\text{ or }a = - {12} - 8 = - {20}. \]
所以答案是 \( 4 - {20} = - {16} \) 。
例13. 方程 \( {x}^{2} - {2x} + q = 0 \) 的两根之差的平方为16，求 \( q \) 的值？(A) -1(B) -2 (C)-3 (D) 3 (E) 2
解答:(C)。
设 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 为两根。
由韦达定理(Vieta’s Theorem)， \( {x}_{1} + {x}_{2} = - \left( {-2}\right) = 2 \) 和 \( {x}_{1}{x}_{2} = q \) 。
\( {\left( {x}_{1} - {x}_{2}\right) }^{2} = {\left( {x}_{1} + {x}_{2}\right) }^{2} - 4{x}_{1}{x}_{2} = {16}. \)
于是 \( {2}^{2} - {4q} = {16}\; \Rightarrow \;q = - 3 \) 。
例14. (1991 AIME 8) 有多少个实数 \( a \) 使得二次方程 \( {x}^{2} + {ax} + {6a} = 0 \) 仅有整数根 \( x \) ？
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 10
解答:(E)。
若二次方程 \( {x}^{2} + {ax} + {6a} = 0 \) 有整数解 \( \mathrm{m} \) 和 \( n\left( {m \leq n}\right) \) ，则由韦达定理(Vieta Theorem)得: \( a = - \left( {m + n}\right) \) 和 \( {6a} = m \cdot n \) 。即
\( m \cdot n + {6m} + {6n} + {36} = {36}\; \Rightarrow \;\left( {m + 6}\right) \left( {n + 6}\right) = {36}. \)
满足 \( m \leq n \) 的解共有10对:
\( \left( {-{42}, - 7}\right) ,\left( {-{24}, - 8}\right) ,\left( {-{18}, - 9}\right) \) ,
\( \left( {-{15}, - {10}}\right) ,\left( {-{12}, - {12}}\right) ,\left( {-5,{30}}\right) \) ,
\( \left( {-4,{12}}\right) ,\left( {-3,6}\right) ,\left( {-2,3}\right) ,\left( {0,0}\right) \) .
对应的 \( a = - \left( {m + n}\right) \) 取值为
\( {49},{32},{27},{25},{24}, - {25}, - 8, - 3, - 1,0. \)
因此共有10个 \( a \) 的值。
例15. (2010 AMC 10 A 第21题) 多项式 \( {x}^{3} - a{x}^{2} + {bx} - \) 2010有三个正整数零点，求 \( a \) 的最小可能值？
(A) 78 (B) 88 (C) 98 (D) 108 (E) 118
解答:(A)。
方法1(官方解答):
设多项式为 \( \left( {x - r}\right) \left( {x - s}\right) \left( {x - t}\right) \) ，且 \( 0 < r \leq s \leq t \) 。则 \( {rst} = {2010} = 2 \cdot 3 \) 。 \( 5 \cdot {67} \) ，且 \( r + s + t = a \) 。若 \( t = {67} \) ，则 \( {rs} = {30} \) ，且当 \( r = 5 \) 时 \( r + s \) 取最小值
且 \( s = 6 \) 。此时 \( a = {67} + 5 + 6 = {78} \) 。若 \( t \neq {67} \) ，则 \( a > t \geq 2 \cdot {67} = {134} \) ，故 \( a \) 的最小值为78。
方法2(我们的解答):
若 \( r, s, t \) 为正整数根，由韦达定理(Vieta’s Theorem)，
\( r + s + t = a \)
rst = 2010
我们知道 \( {rst} = {2010} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot {67} \)
为使 \( a \) 取最小可能值，我们让三个因子尽可能接近，于是得到 \( {rst} = 5 \cdot 6 \cdot {67} \) 和 \( r = 5, s = 6 \) ，且 \( t = {67} \) 。 \( a = r + s + t = 5 + 6 + {67} = {78}. \) 例16.(1975 AMC #27)若 \( p, q \) 和 \( r \) 为 \( {x}^{3} - {x}^{2} + x - 2 = 0 \) 的互异根，则 \( {p}^{3} + {q}^{3} + {r}^{3} \) 等于 (A) -1 (B) 1 (C)3 (D) 5 (E) 无以上选项 解答:(E)。方法1(官方解答):若 \( p, q, r \) 为根，则多项式可分解为: \( {x}^{3} - {x}^{2} + x - 2 = \left( {x - p}\right) \left( {x - q}\right) \left( {x - r}\right) \)
\[ = {x}^{3} - \left( {p + q + r}\right) {x}^{2} + \left( {{pq} + {pr} + {qr}}\right) x - {pqr}. \]
比较 \( x \) 的同次幂系数，我们得到
\[ p + q + r = 1,{pq} + {pr} + {qr} = 1,\;{pqr} = 2. \]
为求三次方程根的立方和，我们利用每个根均满足方程这一事实:
\[ {p}^{3} - {p}^{2} + p - 2 = 0 \]
\[ {q}^{3} - {q}^{2} + q - 2 = 0 \]
\[ {r}^{3} - {r}^{2} + r - 2 = 0. \]
将这些式子相加，我们得到
(*) \( {p}^{3} + {q}^{3} + {r}^{3} - \left( {{p}^{2} + {q}^{2} + {r}^{2}}\right) + \left( {p + q + r}\right) - 6 = 0 \) .
我们已知 \( p + q + r = 1 \) ，并将通过平方此关系来确定根的平方和:
\[ {\left( p + q + r\right) }^{2} = {P}^{2} + {q}^{2} + {r}^{2} + 2\left( {{pq} + {pr} + {qr}}\right) = 1 \]
\[ {p}^{2} + {q}^{2} + {r}^{2} + 2\left( 1\right) \]
\[ {p}^{2} + {q}^{2} + {r}^{2} \]
将其代入(*)式，我们得到
\[ {p}^{3} + {q}^{3} + {r}^{3} = - 1 - 1 + 6 = 4. \]
方法2(我们的解答):
\[ {p}^{3} + {q}^{3} + {r}^{3} = \left( {p + q + r}\right) \left\lbrack {{p}^{2} + {q}^{2} + {r}^{2} - \left( {{pq} + {qr} + {rp}}\right) }\right\rbrack + {3pqr} \]
\[ = \left( {p + q + r}\right) \left\lbrack {{\left( p + q + r\right) }^{2} - 3\left( {{pq} + {qr} + {rp}}\right) }\right\rbrack + {3pqr} \tag{1} \]
根据韦达定理(Vieta's Theorem)，
\[ p + q + r = 1 \tag{2} \]
\[ {pq} + {qr} + {rp} = 1 \tag{3} \]
\[ {pqr} = 2 \tag{4} \]
将(2)、(3)和(4)代入(1):
\[ {p}^{3} + {q}^{3} + {r}^{3} = \left( {p + q + r}\right) \left\lbrack {{\left( p + q + r\right) }^{2} - 3\left( {{pq} + {qr} + {rp}}\right) }\right\rbrack + {3pqr} \]
\[ = 1 \times \left\lbrack {{\left( 1\right) }^{2} - 3\left( 1\right) }\right\rbrack + 3 \times 2 = - 2 + 6 = 4\text{.} \]
例17.(2007年北卡罗来纳州数学竞赛)若 \( a, b \) 和 \( c \) 是多项式 \( 5{x}^{3} + {1440}{x}^{2} - {120x} + 8 \) 的零点(可为复数)，则 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \) 的绝对值为多少？
(A) 14 (B) 8 (C) 3 (D) 15 (E) 10
解答:(D)。
\( 1/a + 1/b + 1/c = \left( {{ab} + {ac} + {bc}}\right) /\left( {abc}\right) = \left( {-{120}/5}\right) /\left( {-8/5}\right) = {15} \) .
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\left( ab + ac + bc\right) }{\left( abc\right) } = \frac{\left( -\frac{120}{5}\right) }{\left( -\frac{8}{5}\right) } = {15}. \]
例18. 若 \( r, s, t \) 是方程 \( {x}^{3} - 2{x}^{2} - {3x} - 1 = 0 \) 的解的根，求 \( \frac{1}{{r}^{2}} + \frac{1}{{s}^{2}} + \frac{1}{{t}^{2}} \) 的值。
(A) 4 (B) 8 (C) 3 (D) 5 (E) 7
解答:(D)。
若 \( r, s, t \) 为根，根据韦达定理(Vieta’s Theorem)，
\( r + s + t = 2 \) (1)
\( {rs} + {st} + {tr} = - 3 \) (2)
rst = 1。(3)
我们知道
\( {r}^{2} + {s}^{2} + {t}^{2} = {\left( r + s + t\right) }^{2} - 2\left( {{rs} + {st} + {tr}}\right) = {\left( 2\right) }^{2} - 2 \times \left( {-3}\right) = {10}. \)
将(2)两边平方: \( {\left( rs + st + tr\right) }^{2} = {\left( -3\right) }^{2} \Rightarrow \)
\( {\left( rs\right) }^{2} + {\left( st\right) }^{2} + {\left( tr\right) }^{2} + 2\left( {{rsst} + {sttr} + {trrs}}\right) = 9 \Rightarrow \)
\( {\left( rs\right) }^{2} + {\left( st\right) }^{2} + {\left( tr\right) }^{2} + 2\left( {s + t + r}\right) = 9\; \Rightarrow \;{\left( rs\right) }^{2} + {\left( st\right) }^{2} + {\left( tr\right) }^{2} + 2\left( 2\right) = 9 \Rightarrow \)
\( {\left( rs\right) }^{2} + {\left( st\right) }^{2} + {\left( tr\right) }^{2}) = 9 - 4 = 5 \) (4)
因此 \( \frac{1}{{r}^{2}} + \frac{1}{{s}^{2}} + \frac{1}{{t}^{2}} = \frac{{\left( st\right) }^{2} + {\left( rt\right) }^{2} + {\left( rs\right) }^{2}}{{\left( rst\right) }^{2}} = \frac{5}{{\left( 1\right) }^{2}} = 5 \) 。
例19.(1996年AIME)设 \( {x}^{3} + 3{x}^{2} + {4x} - {11} = 0 \) 的根为 \( a \) 、 \( b \) 和 \( c \) ，而 \( {x}^{3} + r{x}^{2} + {st} + t = 0 \) 的根为 \( a + b, b + c \) 和 \( c + a \) 。求 \( t \) 。
解答:23。
方法一(官方解答):
第一个方程意味着 \( a + b + c = - 3 \) 。第二个方程意味着 \( t = - \left( {a + b}\right) \left( {b + c}\right) \left( {c + a}\right) \) 。由此可得 \( t = - \left( {-3 - c}\right) \left( {-3 - a}\right) \left( {-3 - b}\right) \) ，展开后即为 \( t = {27} + 9\left( {a + b + c}\right) + 3\left( {{ab} + {bc} + {ca}}\right) + {abc} \) 。第一个方程意味着 \( {ab} + {bc} + {ca} = 4 \) 和 \( {abc} = {11} \) ，因此 \( t = {27} - {27} + {12} + {11} = {23} \) 。
方法二:
对 \( {x}^{3} + 3{x}^{2} + {4x} - {11} = 0 \) 应用韦达定理(Vieta’s Theorem):
\( a + b + c = - 3 \)
\[ {ab} + {bc} + {ca} = 4 \]
\[ {abc} = {11} \]
于是 \( a + b = - 3 - c, b + c = - 3 - a \) ，且 \( c + a = - 3 - b \) 。
对 \( {x}^{3} + r{x}^{2} + {st} + t = 0 \) 应用韦达定理:
\( t = - \left( {a + b}\right) \left( {b + c}\right) \left( {c + a}\right) = - \left( {-3 - c}\right) \left( {-3 - a}\right) \left( {-3 - b}\right) \)
\( = {27} + 9\left( {a + b + c}\right) + 3\left( {{ab} + {bc} + {ca}}\right) + {abc} \) .
\( t = {27} - {27} + {12} + {11} = {23} \)
习题
问题1. 一个矩形的面积为 \( {323}\mathrm{\;{cm}} \) ，周长为 \( {50}\mathrm{\;{cm}} \) 。求矩形的宽。
(A) 11 (B) 13 (C) 15 (D) 25 (E) 27
问题2. 两数之和为14，积为46。求较小的数。
(A) \( 7 - \sqrt{3} \) (B) 7 (C) 5 (D) 3 (E) \( 3 + \sqrt{7} \)
问题3. 三角形 \( {ABC} \) 的面积为9，周长为18。求该三角形较长的直角边。
(A) \( 5 - \sqrt{7} \) (B) \( 5 + \sqrt{7} \) (C) 7 (D) \( 5 - \sqrt{2} \) (E) \( 7 + \sqrt{2} \)
问题4. 有多少组不同的有序实数对(x, y)满足下列方程？
\( x + y = 4 \)
\( \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \left( {{x}^{3} + {y}^{3}}\right) = {280}? \)
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
问题5. 满足方程 \( x - y = 6 \) 的 \( x \) 的最大值是多少？
\( {xy} = 5? \)
(A) \( 3 - \sqrt{14} \) (B) \( 3 + \sqrt{11} \) (C) \( 3 + \sqrt{14} \) (D) \( 2 + \sqrt{14} \) (E) \( 2 + \sqrt{15} \)
问题6. 有多少个不同的有序实数对(x, y)满足方程
\( \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{{y}^{2}} = {25} \)
\[ \frac{1}{xy} = {12}? \]
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
问题7. 有多少个不同的有序实数对(x, y)满足方程
\[ \left\{ \begin{array}{l} {x}^{4} + {x}^{2}{y}^{2} + {y}^{4} = {91}, \\ {x}^{2} - {xy} + {y}^{2} = 7 \end{array}\right. \]
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
问题8. 有多少个不同的有序实数三元组(x, y, z)满足方程
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 6 \\ {xy} + {yz} + {zx} = {11} \\ {xyz} = 6 \end{array}\right. \]
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
问题9. 有多少个不同的有序实数三元组(x, y, z)满足以下方程？
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 9 \\ {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} = {99} \\ {xyz} = {24} \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(3)
(A) 无 (B) 1 (C) 2(D) 4(E) 6
问题10. 有多少个不同的有序实数三元组(x, y, z)满足以下方程？
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {21} \\ {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} = {55} \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
(3)
(A) 无 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
问题11. (AMC) 若 \( a, b, c \) 、 \( d \) 为非零数，且 \( c \) 与 \( d \) 是 \( {x}^{2} + {ax} + b = 0 \) 的解， \( a \) 与 \( b \) 是 \( {x}^{2} + {cx} + d = 0 \) 的解，则 \( a + b + c + d \) 等于
(A) 0 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (E) \( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)
问题12. (2005 AMC 10 B) 二次方程 \( {x}^{2} + {mx} + n = 0 \) 的根是 \( {x}^{2} + {px} + m = 0 \) 的根的两倍，且 \( m, n \) 、 \( p \) 均不为零。 \( n/p \) 的值是多少？
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 16
问题13. (AMC) 两数之和为6，差的绝对值为8，它们是方程的根:
(A) \( {x}^{2} - {6x} + 7 = 0 \) \( {x}^{2} - {6x} - 7 = 0 \) (C) \( {x}^{2} + {6x} - 8 = 0 \)
(D) \( {x}^{2} - {6x} + 8 = 0 \) (E) \( {x}^{2} + {6x} - 7 = 0 \)
问题14。方程 \( 2{x}^{2} - {8nx} + {10x} - {n}^{2} + {35n} - {76} = 0 \) 的两个根为质数， \( x \) 的最大可能值是多少？
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 10
问题15。方程 \( {x}^{3} - 2{x}^{2} - {3x} - 1 = \) 0的解的平方和是多少？
(A) 14 (B) 12 (C) -2 (D) 5 (E) 10
问题16。若方程 \( 2{x}^{2} + {ax} - {2a} + 1 = 0 \) 的两个实根的平方和为 \( 7\frac{1}{4} \) ，求 \( a \) 的值。
(A) 4 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 10
问题17。方程 \( {x}^{3} - 3{x}^{2} - {13x} \) \( + {15} = 0 \) 的解的倒数之和是多少？
(A) \( - {13}/{15} \) (B) \( {13}/{16} \) (C) \( {13}/{17} \) (D) \( {13}/{18} \) (E) \( {13}/{15} \)
问题18。(2014年Mathcounts州级冲刺赛第27题)四次方程 \( {x}^{4} - 7{x}^{3} + 4{x}^{2} + {7x} - 4 = 0 \) 有四个实根 \( a, b, c \) 和 \( d \) ，求和 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \) 的值，并以普通分数表示答案。
(A) \( - \frac{7}{4} \) (B) \( \frac{7}{4} \) (C)-7 (D) 7 (E) 1
问题19。(1984年USAMO)四次方程 \( {x}^{4} - {18}{x}^{3} + k{x}^{2} + {200x} - {1984} = 0 \) 的四个根中，有两根的乘积为-32，求 \( k \) 的值。
解答:
问题1。解答:(B)。
设长为 \( x \) ，宽为 \( y \) 。
我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = {25} \\ {xy} = {323} \end{array}\right. \]
因此 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {25t} + {323} = 0 \) 的两个根。
解为 \( \left( {t - {13}}\right) \left( {t - {12}}\right) = 0 \) 、 \( {t}_{1} = {13} \) 和 \( {t}_{2} = {12} \) 。
宽度为13。
问题2。答案:(A)。
设这两个数为 \( x \) 和 \( y \) 。
我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = {14} \\ {xy} = {46} \end{array}\right. \]
因此 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {14t} + {46} = 0 \) 的两个根。
解为 \( {t}_{1} = \frac{{14} + \sqrt{{14}^{2} - 4 \cdot {46}}}{2} = \frac{{14} + 2\sqrt{3}}{2} = 7 + \sqrt{3} \) ，以及
\[ {t}_{2} = \frac{{14} - \sqrt{{14}^{2} - 4 \cdot {46}}}{2} = \frac{{14} - 2\sqrt{3}}{2} = 7 - \sqrt{3}. \]
较小的数是 \( 7 - \sqrt{3} \) 。
问题3。答案:(B)。
设三边分别为 \( a, b \) 、 \( c \) ，且 \( a \leq b \leq c \) 。
我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = {18} \\ \frac{1}{2}{ab} = 9 \\ {a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2} \end{array}\right. \]
我们注意到 \( {c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} = {\left( a + b\right) }^{2} - {2ab} = {\left( {18} - c\right) }^{2} - 2 \times 2 \times 9 \Rightarrow {36c} = {288} \Rightarrow \)
\( c = 8 \) .
于是我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} a + b = {10} \\ {ab} = {18} \end{array}\right. \]
因此 \( a \) 和 \( b \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {10t} + {18} = 0 \) 的两个根。
解为 \( {t}_{1} = \frac{{10} + \sqrt{{10}^{2} - 4 \cdot {18}}}{2} = \frac{{10} + 2\sqrt{7}}{2} = 5 + \sqrt{7} \) ，以及
\( {t}_{2} = \frac{{10} - \sqrt{{10}^{2} - 4 \cdot {18}}}{2} = \frac{{10} - 2\sqrt{7}}{2} = 5 - \sqrt{7}. \)
较长的直角边为 \( 5 + \sqrt{7} \) 。
问题4。解答:(C)。
已知 \( {x}^{2} + {y}^{2} = {\left( x + y\right) }^{2} - {2xy} \) 和 \( {x}^{3} + {y}^{3} = \left( {x + y}\right) \left( \left\lbrack {{\left( x + y\right) }^{2} - {3xy})}\right\rbrack \right) \) 。
于是得到 \( \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \left( {{x}^{3} + {y}^{3}}\right) = {280} \Rightarrow \;\left( {{4}^{2} - {2xy}}\right) \left\lbrack {4\left( {{4}^{2} - {3xy}}\right) }\right\rbrack = {280} \)
\( \Rightarrow 3{x}^{2}{y}^{2} - {40xy} + {93} = 0 \Rightarrow \left( {{3xy} - {31}}\right) \left( {{xy} - 3}\right) = 0 \) .
因此 \( {xy} = 3 \) 或 \( {xy} = \frac{31}{3} \) 。
情况1:
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 4 \\ {xy} = 3 \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
于是 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {4t} + 3 = 0 \) 的两个根。
解为 \( \left( {t - 1}\right) \left( {t - 3}\right) = 0 \) 。
因此 \( {x}_{1} = 1,{y}_{1} = 3 \) ；且 \( {x}_{2} = 3 \) 和 \( {y}_{2} = 1 \) 。
情况2:
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 4 \\ {xy} = \frac{31}{3} \end{array}\right. \tag{1} \]
(2)
于是 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {4t} + {31}/3 = 0 \) 的两个根。
该方程无实数解。
问题5。解答:(C)。
给定方程可写为
\[ x + \left( {-y}\right) = 6 \]
\[ x\left( {-y}\right) = - 5\text{.} \]
于是 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {6t} - 5 = 0 \) 的两个根。
解为 \( {t}_{1} = \frac{6 + \sqrt{{\left( -6\right) }^{2} - 4 \cdot \left( {-5}\right) }}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{14}}{2} = 3 + \sqrt{14} \) ，且
\( {t}_{2} = \frac{6 - \sqrt{{\left( -6\right) }^{2} - 4 \cdot \left( {-5}\right) }}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{14}}{2} = 3 - \sqrt{14}. \)
因此， \( {x}_{1} = \sqrt{14} + 3,{y}_{1} = - \left( {3 - \sqrt{14}}\right) = \sqrt{14} - 3 \) ；且 \( {x}_{2} = 3 - \sqrt{14} \) 且
\( {y}_{2} = - \left( {3 + \sqrt{14}}\right) = - 3 - \sqrt{14} \) .
\( x \) 的最大值为 \( \sqrt{14} + 3 \) 。
问题6。解答:(D)。
设 \( u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y} \)
给定方程可写为
\[ \left\{ \begin{array}{l} {u}^{2} + {v}^{2} = {25} \\ {uv} = {12} \end{array}\right. \]
\[ {u}^{2} + {v}^{2} = {25} = {\left( u + v\right) }^{2} - {2uv} \Rightarrow {25} = {\left( u + v\right) }^{2} - {24} \Rightarrow u + v = \pm 7\text{.} \]
情况1:
\[ u + v = 7 \]
\[ {uv} = {12} \]
于是 \( u \) 与 \( v \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {7t} + {12} = 0 \Rightarrow \) \( \left( {t - 4}\right) \left( {t - 3}\right) = 0 \) 的两个根。
解为 \( {u}_{1} = 4,{v}_{1} = 3 \) ；且 \( {u}_{2} = 3 \) 且 \( {v}_{2} = 4 \) 。
因此， \( {x}_{1} = \frac{1}{{u}_{1}} = \frac{1}{4},{y}_{1} = \frac{1}{{v}_{1}} = \frac{1}{3} \) ；且 \( {x}_{2} = \frac{1}{3} \) 且 \( {y}_{2} = \frac{1}{4} \) 。
情况12:
\( u + v = - 7 \)
\( {uv} = {12} \)
于是 \( u \) 与 \( v \) 是二次方程 \( {t}^{2} + {7t} + {12} = 0 \Rightarrow \) 的两个根
\( \left( {t + 4}\right) \left( {t + 3}\right) = 0 \) .
解为 \( {u}_{3} = - 4,{v}_{3} = - 3 \) ；且 \( {u}_{4} = - 3 \) 且 \( {v}_{4} = - 4 \) 。
因此， \( {x}_{3} = \frac{1}{{u}_{3}} = - \frac{1}{4},{y}_{3} = \frac{1}{{v}_{3}} = - \frac{1}{3} \) ；且 \( {x}_{4} = - \frac{1}{3} \) 且 \( {y}_{4} = - \frac{1}{4} \) 。
问题7。解答:(D)。
设 \( u = x + y, v = {xy} \) 。
\[ {x}^{4} + {y}^{4} = {\left\lbrack {\left( x + y\right) }^{2} - 2xy\right\rbrack }^{2} - 2{x}^{2}{y}^{2} = {\left( {u}^{2} - 2v\right) }^{2} - 2{v}^{2}\text{,} \]
\[ {x}^{2} + {y}^{2} = {\left( x + y\right) }^{2} - {2xy} = {u}^{2} - {2v}, \]
给定方程组可写为
\[ \left\{ \begin{array}{l} {\left( {u}^{2} - 2v\right) }^{2} - 2{v}^{2} + {v}^{2} = {91}, \\ {u}^{2} - {3v} = 7 \end{array}\right. \]
解得 \( v = 3 \) 和 \( u = \pm 4 \) 。
于是我们有
情况1:
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 4 \\ {xy} = 3 \end{array}\right. \]
因此 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} - {4t} + 3 = 0 \) 的两个根。
解为
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x}_{1} = 1, \\ {y}_{1} = 3; \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} {x}_{2} = 3, \\ {y}_{2} = 1; \end{array}\right. }\right. \]
\[ \text{Case 2: and}\left\{ \begin{array}{l} x + y = - 4 \\ {xy} = 3 \end{array}\right. \]
因此 \( x \) 和 \( y \) 是二次方程 \( {t}^{2} + {4t} - 3 = 0 \) 的两个根。
解为
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x}_{3} = - 1, \\ {y}_{3} = - 3; \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} {x}_{4} = - 3, \\ {y}_{4} = - 1. \end{array}\right. }\right. \]
答案为(D)。
情况2:
\[ u = - 4 - \sqrt{2} \]
\[ v = 6 + 4\sqrt{2} \]
问题8. 解:(E)。
\( x, y \) 和 \( z \) 是以下方程的解: \( {t}^{3} - 6{t}^{2} + {11t} - 6 = 0 \Rightarrow \) 或 \( \left( {t - 1}\right) \left( {t - 2}\right) \left( {t - 3}\right) = 0 \)
因此解为(1,2,3)。这可以有6种不同的排列方式，如下所示。
\[ \left\{ {\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 3/2 \\ z = 2/3 \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1/2 \\ z = 1 \end{array}\right. }\right. }\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3/2 \\ z = 1/3 \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1/2 \\ z = 2/3 \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \\ z = 1/3 \end{array}\right. }\right. }\right. \]
于是原方程组有6个不同的解。
问题9. 解:(E)。
我们知道
\[ {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - {3xyz} = \left( {x + y + z}\right) \left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - {xy} - {yz} - {zx}}\right) \]
\[ = \left( {x + y + z}\right) \left\lbrack {{\left( x + y + z\right) }^{2} - 3\left( {{xy} + {yz} + {zx}}\right) }\right\rbrack \]
由(2)、(3)得 \( {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - {3xyz} = {27} \) 或
\[ \left( {x + y + z}\right) \left\lbrack {{\left( x + y + z\right) }^{2} - 3\left( {{xy} + {yz} + {zx}}\right) }\right\rbrack = {27}. \]
考虑到(1)，我们有 \( {xy} + {yz} + {zx} = {26} \) 。
因此 \( x, y, z \) 是方程 \( {t}^{3} - 9{t}^{2} + {26t} - {24} = 0 \) 的根。
\( {t}_{1} = 2,{t}_{2} = 3,{t}_{3} = 4 \) .
于是解为 \( \left( {2,3,4}\right) ,\left( {3,2,4}\right) ,\left( {2,4,3}\right) ,\left( {4,2,3}\right) ,\left( {4,3,2}\right) ,\left( {3,4,2}\right) \)
问题10。解答:(E)。
\( {\left( 1\right) }^{2} - \left( 2\right) : {xy} + {yz} + {zx} = \frac{1}{2}\left\lbrack {{\left( x + y + z\right) }^{2} - \left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) }\right\rbrack = - {10} \) (4)
(2) \( - \left( 4\right) : {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} - \left( {{xy} + {yz} + {zx}}\right) = {21} \) (5)
(1) \( \times \) (5): \( {x}^{3} + {y}^{3} + {z}^{3} - {3xyz} = {21} \) (6)
(6) \( - \left( 3\right) : {xyz} = 8 \) .
所以我们有
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ {xy} + {yz} + {zx} = - {10} \\ {xyz} = 8 \end{array}\right. \]
因此 \( x, y, z \) 是方程 \( {t}^{3} - {t}^{2} - {10t} - 8 = 0 \) 的根
\[ \Rightarrow \left( {t + 1}\right) \left( {t + 2}\right) \left( {t - 4}\right) = 0\text{.} \]
\[ {t}_{1} = - 1,{t}_{2} = - 1,{t}_{3} = 4\text{.} \]
于是解为 \( \left( {-1, - 2,4}\right) ,\left( {-1,4, - 2}\right) ,\left( {-2, - 1,4}\right) ,\left( {-2,4, - 1}\right) ,(4, - 1 \) ，
\( - 2),\left( {4, - 2, - 1}\right) \)
问题11。解答:(B)。
方法1(官方解答):
由于首一二次方程的常数项是其根的乘积，
由于首一二次方程中 \( x \) 的系数是其根之和的相反数， \( - a = c + d, - c = a + b \) ；于是 \( a + c + d = 0 = a + b + c \) ，且 \( b = d \) 。但
方程 \( b = {cd} \) 和 \( d = {ab} \) 意味着，由于 \( b = d \neq 0 \) ， \( 1 = a = c \) 。因此， \( b \) \( = d = - 2 \) ，且 \( a + b + c + d = - 2 \) 。
方法2(我们的解法):
\[ {x}^{2} + {ax} + b = 0 \tag{1} \]
\[ {x}^{2} + {cx} + d = 0 \tag{2} \]
(1) \( + \left( 2\right) : 2{x}^{2} + \left( {a + c}\right) x + b + d = 0 \) (3)
在(3)中令 \( x = 1 \) : \( 2 + a + c + b + d = 0 \Rightarrow a + c + b + d = - 2 \) 。
问题12。解答:(D)。
方法1(官方解答):
设 \( {r}_{1} \) 和 \( {r}_{2} \) 为 \( {x}^{2} + {px} + m = 0 \) 的根。由于 \( {x}^{2} + {mx} + n = 0 \) 的根为 \( 2{r}_{1} \) 和 \( 2{r}_{2} \) ，我们有以下关系:
\( m = {r}_{1}{r}_{2};n = 4{r}_{1}{r}_{2};p = - \left( {{r}_{1} + {r}_{2}}\right) \) ；以及 \( m = - 2\left( {{r}_{1} + {r}_{2}}\right) \) 。
于是 \( n = {4m}, p = \left( {1/2}\right) m \) ，且 \( \frac{n}{p} = \frac{4m}{\frac{1}{2}m} = 8 \) 。
方法二(官方解答):
\( {\left( \frac{x}{2}\right) }^{2} + p\left( \frac{x}{2}\right) + m = 0 \) 的根是 \( {x}^{2} + {px} + m = 0 \) 的根的两倍。由于第一个方程等价于 \( {x}^{2} + {2px} + {4m} = 0 \) ，我们得到 \( m = {2p} \) 和 \( n = {4m} \) 。因此 \( n/p = \) 8。
方法三(我们的解答):
设 \( {2s} \) 和 \( {2t} \) 为 \( {x}^{2} + {mx} + n = 0 \) 的根。
我们有
\[ 4{s}^{2} + {2ms} + n = 0 \tag{1} \]
\[ 4{t}^{2} + {2mt} + n = 0 \tag{2} \]
\[ {s}^{2} + {ps} + m = 0 \tag{3} \]
\[ {t}^{2} + {pt} + m = 0 \tag{4} \]
(1) \( - \left( 2\right) : 4\left( {{s}^{2} - {t}^{2}}\right) + {2m}\left( {s - t}\right) = 0 \Rightarrow {2s} + {2t} + m = 0 \) (5)
(3) \( - \left( 4\right) : \left( {{s}^{2} - {t}^{2}}\right) + p\left( {s - t}\right) = 0 \Rightarrow s + t + p = 0 \) (6)
(5) \( - 2 \times \left( 6\right) : m = {2p} \) (7)
将(7)代入(1): \( 4{s}^{2} + {4ps} + n = 0 \) (8)
将(7)代入(3): \( {s}^{2} + {ps} + {2p} = 0 \) (9)
(8) \( - 4 \times \) (9): \( n - {8p} = 0\; \Rightarrow \;\frac{n}{p} = 8 \) .
问题13。解答:(A)。
方法一(官方解答):
这两个数为7和-1；因此所求方程为 \( {x}^{2} - {6x} + 7 = 0 \) 。
方法二(我们的解答):
根据韦达定理(Vieta's Theorem):
\[ \alpha + \beta = 6 \tag{1} \]
\[ \left| {\alpha - \beta }\right| = 8 \tag{2} \]
\( {\left( 1\right) }^{2} - {\left( 2\right) }^{2} : {4\alpha \beta } = - {28}\; \Rightarrow \;{\alpha \beta } = - 7 \)
因此 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是二次方程 \( {x}^{2} - {6x} + 7 = 0 \) 的两个根。
问题14。解答:(D)。
设 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 为两个根。
根据韦达定理(Vieta’s Theorem)， \( {x}_{1} + {x}_{2} = - \frac{{10} - {8n}}{2} = {4n} - 5 \)
由于 \( {x}_{1} \) 和 \( {x}_{2} \) 均为质数，且 \( {4n} - 5 \) 为奇数，故其中必有一个为2。
于是原方程可写为 \( 2 \times {2}^{2} - {8n} \times 2 - {10} \times 2 - {n}^{2} + {35n} - \)
\( {76} = 0 \) ，或 \( {n}^{2} - {19n} + {48} = 0\; \Rightarrow \;\left( {n - {16}}\right) \left( {n - 3}\right) = 0 \) 。
解得: \( n = {16} \) 或3。
当 \( n = {16} \) 时，原方程可写为
\( 2{x}^{2} - 8 \times {16x} + {10x} - {16}^{2} + {35} \times {16} - {76} = 0 \) 或 \( {x}^{2} - {59x} + {114} = 0 \) 。
解得 \( x = 2 \) 和57(非质数)。
当 \( n = 3 \) 时，原方程可写为
\( 2{x}^{2} - 8 \times {3x} + {10x} - {3}^{2} + {35} \times 3 - {76} = 0 \) 或 \( {x}^{2} - {7x} + {10} = 0. \)
解得 \( x = 2 \) 和5。
\( x \) 的最大可能值为5。
问题15。解答:(E)。
若 \( r, s, t \) 为根，根据韦达定理(Vieta’s Theorem)，
\( r + s + t = 2 \)
\[ {rs} + {st} + {tr} = - 3 \]
rst = 1。
\[ {r}^{2} + {s}^{2} + {t}^{2} = {\left( r + s + t\right) }^{2} - 2\left( {{rs} + {st} + {tr}}\right) = {\left( 2\right) }^{2} - 2 \times \left( {-3}\right) = {10}. \]
问题16。解答:(C)。
设这两个根为 \( r \) 和 \( s \) 。
根据韦达定理(Vieta’s Theorem)， \( r + s = - \frac{a}{2} \) ，且 \( {rs} = \frac{-{2a} + 1}{2} \) 。
所以 \( {r}^{2} + {s}^{2} = {\left( r + s\right) }^{2} - {2rs} = {\left( -\frac{a}{2}\right) }^{2} - 2 \times \frac{-{2a} + 1}{2} = \frac{1}{4}\left( {{a}^{2} + {8a} - 4}\right) \) 。
\( \frac{1}{4}\left( {{a}^{2} + {8a} - 4}\right) = 7\frac{1}{4} \Rightarrow \;\left( {a + {11}}\right) \left( {a - 3}\right) = 0. \)
我们得到 \( a = - {11} \) 或 \( a = 3 \) 。
当 \( a = {11},\Delta = {a}^{2} - 8\left( {-{2a} + 1}\right) = {\left( -{11}\right) }^{2} - 8\left\lbrack {-2 \times \left( {-{11}}\right) + 1}\right\rbrack < 0 \) 时，该方程无实数解。
所以答案是3。
问题17。解答:(E)。
\[ \frac{1}{r} + \frac{1}{s} + \frac{1}{t} = \frac{{st} + {rt} + {rs}}{rst} = \frac{-{13}}{-{15}} = \frac{13}{15}. \]
问题18。解答:(B)。
根据韦达定理(Vieta’s Theorem)， \( {abcd} = \frac{-4}{1} = - 4 \) 且 \( {bcd} + {acd} + {abd} + {abc} = - \frac{7}{1} = - 7 \) 。
\[ \text{Thus}\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{{bcd} + {acd} + {abc}}{abcd} = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4}\text{.} \]
问题19。解答:86。
如果 \( {r}_{1},{r}_{2},{r}_{3} \) 、 \( {r}_{4} \) 是四个根，则存在某种根的配对，使得 \( {r}_{1}{r}_{2} = \) -32，于是
\[ {r}_{3}{r}_{4} = \frac{{r}_{1}{r}_{2}{r}_{3}{r}_{4}}{{r}_{1}{r}_{2}} = \frac{-{1984}}{-{32}} = {62}. \]
因此，对于某些 \( p \) 和 \( q \) ，
\[ {x}^{4} - {18}{x}^{3} + k{x}^{2} + {200x} - {1984} \equiv \left( {x - {r}_{1}}\right) \left( {x - {r}_{2}}\right) \left( {x - {r}_{3}}\right) \left( {x - {r}_{4}}\right) \]
\[ = \left( {{x}^{2} - {px} - {32}}\right) \left( {{x}^{2} - {qx} + {62}}\right) \text{.} \]
在恒等式两边比较同类项系数，我们得到
\[ p + q = {18},\; - {62p} + {32q} = {200},\;\text{ and }\;k = {62} + {pq} - {32}. \]
解前两个方程得 \( p, q \) ，于是 \( p = 4, q = {14} \) 。最终 \( k = {62} + 4 \cdot {14} - {32} = {86}. \)
1. 基础知识
长方体
\[ V = {abc} \tag{28.1} \]
\( a \) :长方体底面的长度
\( b \) :长方体底面的宽度
\( c \) :长方体的高度
\( d \) :长方体的空间对角线， \( {d}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} \) (28.2)
对于正方体， \( V = {a}^{3} \) (28.3)
\[ {d}^{2} = 3{a}^{2} \tag{28.4} \]
所有12条棱的总长度: \( e = 4\left( {a + b + c}\right) \) (28.5)
长方体的表面积， \( S \)
\( S = 2\left( {{ab} + {bc} + {ca}}\right) \) (28.6)
注:对于正方体， \( S = 6{a}^{2} \) (28.7)
三棱锥的体积， \( V \)
\[ V = \frac{1}{3}{Bh} \tag{28.8} \]
\( B \) :底面积
\( h \) :高
(正四面体) \( V = \frac{1}{12}\sqrt{2}{a}^{3} \) (28.9)
\( a \) :棱长
\( l \) :斜高(等边三角形的高 \( {ABC} \) )
\[ l = \frac{1}{2}a\sqrt{3} \tag{28.10} \]
\( h \) :正四面体的高。
\[ h = \frac{1}{3}a\sqrt{6} \tag{28.11} \]
八面体
八面体是一种具有八个面的多面体。
八面体的表面积， \( S \)
表面积是一个面(等边三角形)面积的8倍:
\[ S = 8 \times \frac{1}{4}\sqrt{3}{a}^{2} = 2\sqrt{3}{a}^{2} \tag{28.12} \]
八面体的体积， \( V \)
体积是以正方形为底的棱锥体积的2倍，
\[ V = 2 \times \left\lbrack {\frac{1}{3}{a}^{2} \cdot \left( {\frac{1}{2}\sqrt{2}a}\right) }\right\rbrack = \frac{1}{3}\sqrt{2}{a}^{3} \tag{28.13} \]
球体的体积
\[ V = \frac{4}{3}\pi {R}^{3} = \frac{1}{6}\pi \times {D}^{3} \tag{28.14} \]
\( R \) :球体圆形底面的半径
\( D \) :球体圆形底面的直径
表面积， \( S \)
\[ S = {4\pi }{R}^{2} = \pi {D}^{2} \tag{28.15} \]
注: \( S \) 也是将球体切成两半时所得最大圆的面积。
球台(frustum of a sphere)的体积， \( V \)
\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}{\pi h}\left( {3{a}^{2} + 3{b}^{2} + {h}^{2}}\right) \tag{28.16} \]